刚体力学笔记

这章讲的是转动，就是绕某个轴的转动，质心的运动就可以被分解为绕无穷远轴的转动+绕质心的转动

角速度

力矩

定义

首先给出力矩的定义

$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

此处得到的力矩即为对于$\vec{r}$所对应的参考点的力矩，参考点不同同一个力所对应的力矩也不同

内力矩

现在证明合内力矩为0

即质点系中，合内力矩为0

角动量

质点系受外力转动时，有

不妨记

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}$

称为角动量，则有

转动惯量

探究角速度与角动量之间的关系

可以发现，对于质点系，其总角动量

显然，$\sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}$是与转动状态无关的量，不妨记作转动惯量

$\vec{I} = \sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}$

当质量连续时

$\vec{I} = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\mathrm{d}m = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\rho\mathrm{d}r\\ \rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r}$

常见刚体转动惯量

圆盘

球

使用圆盘积分即可

$\vec{I} = \frac{2}{5}mR^2$

棒

$\vec{I} = \frac{1}{2}mL^2$

对比

至此我们已经探索完转动的几个基础量，可以发现其与平动有着极其相似的特性

$x$	$r$	$\theta$
$\frac{dx}{dt}$	$\vec{v}$	$\vec{\omega}$
$\frac{d^2x}{dt^2}$	$\vec{a}$	$\vec{\beta}$
$m$	$m$	$I$
$m\frac{dx}{dt}$	$\vec{p}$	$\vec{L}$
$m\frac{d^2x}{dt^2}$	$\vec{F}$	$\vec{M}$
$E$	$\frac{1}{2}m\vec{v}^2$	$\frac{1}{2}I\vec{\omega}^2$
$dE$	$\vec{F}dx$	$\vec{M}d\theta$
	$\vec{F} = m\vec{a}$	$\vec{F} = I\vec{\beta}$
	$P = \vec{F} · \vec{v}$	$P = \vec{M} · \vec{\omega}$

角动量守恒

质点系在有心力的作用下角动量守恒

• 有心力 力沿转动轴矢径

$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times \ k\vec{r} = 0$

做题

1. 角动量守恒
   • 单质点+有心力
   • 质点系守恒时记得取相同的转动轴
2. 动量守恒
3. 能量守恒
   • 动能 势能 转动能 摩擦生热
4. 速度方向不一定垂直于绳 / 受力方向