刚体力学笔记

这章讲的是转动，就是绕某个轴的转动，质心的运动就可以被分解为绕无穷远轴的转动+绕质心的转动

角速度

力矩

定义

首先给出力矩的定义

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$$

此处得到的力矩即为对于所对应的参考点的力矩，参考点不同同一个力所对应的力矩也不同

内力矩

现在证明合内力矩为0

$$\begin{align*} \vec{M}_{sum} &= \sum_i \sum_{j\neq i}\vec{M}_{i,j} \\ &= \sum_i \sum_{j\neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{i,j} \\ &= \sum_{(i,j),j\neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{j,i} + \vec{r}_{j} \times \vec{F}_{i,j} \\ Since&\ \ \ \vec{F}_{i,j} + \vec{F}_{j,i} = 0\\ &= \sum_{(i,j),j\neq i} \vec{r}_{i,j} \times \vec{F}_{i,j} \\ Since&\ \ \ (i,j) and (j,i)\ will \ appear \ in \ pairs \\ &= \sum_{(i,j),j > i} (\vec{r}_{i,j} + \vec{r}_{j,i}) \times \vec{F}_{i,j}\\ &= 0 \end{align*}$$

即质点系中，合内力矩为0

角动量

质点系受外力转动时，有

$$\begin{align*} \vec{M} &= \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i \\ &= \sum_i \vec{r}_i \times \frac{\mathrm{d}\vec{P}_i}{\mathrm{d}t} \\ Since&\ \ \ d(A \times B) = dA \times B + A \times dB\\ &= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)- \frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times \vec{P}_i\\ Since&\ \ \ \frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times \vec{P}_i = \vec{v}_i \times m\vec{v}_i = 0\\ &= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)\\ \end{align*}$$

不妨记

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}$$

称为角动量，则有

$$\begin{align*} \vec{M} &= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)\\ &= \sum_i \frac{\mathrm{d}\vec{L}_i}{\mathrm{d}t} \end{align*}$$

转动惯量

探究角速度与角动量之间的关系

$$\begin{align*} \vec{L} &= \vec{r} \times \vec{P}\\ &= \vec{r} \times (m\cdot \vec{v})\\ &= \vec{r} \times (m\cdot \vec{\omega}\times \vec{r}) \\ &= m\cdot[\vec{r} \times (\vec{\omega}\times \vec{r})] \\ Since&\ \ \ a\times(b\times c) = (a\cdot c)b - (a\cdot b)c\\ &= m\cdot[\vec{r}\cdot \vec{r}\cdot \vec{\omega} - \vec{r}\cdot\vec{\omega}\cdot\vec{r}] \\ Since&\ \ \ \vec{r}\perp\vec{\omega}\ ,\ \ \vec{r}\cdot\vec{\omega}\cdot\vec{r}=0\\ &= m\vert\vec{r}\vert^2\vec{\omega} \end{align*}$$

可以发现，对于质点系，其总角动量

$$\begin{align*} \vec{L}_{sum} &= \vec{\omega}\sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2} \end{align*}$$

显然，是与转动状态无关的量，不妨记作转动惯量

$$\vec{I} = \sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}$$

当质量连续时

$$\vec{I} = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\mathrm{d}m = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\rho\mathrm{d}r\\ \rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r}$$

常见刚体转动惯量

圆盘

$$\begin{align*} \rho &= \frac{dm}{dr} = \frac{2\pi r dr}{\pi R^2}m / dr = \frac{2mr}{R^2} \\ \vec{I} &= \int_{0}^{R}{\vert\vec{r}_i\vert^2}\rho\mathrm{d}r\\ &= \int_{0}^{R}{\frac{2m}{R^2}r^3dr} \\ &= \frac{1}{2}mR^2 \end{align*}$$

球

使用圆盘积分即可

$$\vec{I} = \frac{2}{5}mR^2$$

棒

$$\vec{I} = \frac{1}{2}mL^2$$

对比

至此我们已经探索完转动的几个基础量，可以发现其与平动有着极其相似的特性

角动量守恒

质点系在有心力的作用下角动量守恒

• 有心力 力沿转动轴矢径

$$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times \ k\vec{r} = 0$$

做题

1. 角动量守恒
   • 单质点+有心力
   • 质点系守恒时记得取相同的转动轴
2. 动量守恒
3. 能量守恒
   • 动能 势能 转动能 摩擦生热
4. 速度方向不一定垂直于绳 / 受力方向